序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇數學思維的主要類型范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

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關鍵詞：思維類型；思維方法；原則

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）03-0113-02

“思維類型”是一個通用概念，大量學者都對其進行了研究。事實上，明確區分思維的類型對教育來說具有重要的實際意義。為了更好地指導大學生的學習，增強他們的創新能力，本文從新的角度對思維類型進行分類，從四種思維類型出發給出學生的學習方法，特別對數學思維方法展開討論，最后再給出創造性思維的徹底性原則。

一、思維類型及其對教育方法的啟發

一般來說人們思維分為下述四種類型：接受快且深刻，接受快但膚淺，接受慢但深刻，接受慢且膚淺。當然最好的是接受快且深刻這種類型，這種類型的人往往自小就表現出天才模樣，他們大都被稱為是神童。可惜的是，他們在贊揚聲中成長，很容易養成驕傲情緒，久而久之他們就不習慣于“艱苦研究”，最后變成平庸之人。王安石的《傷仲永》寫的就是這種情況。所以對第一種類型的學生，我們對他們的愛護首先就是不要多表揚他們（例如各地過分吹捧高考狀元是不明智的做法），其次對他們要多加督促，讓他們養成艱苦學習習慣。列寧小時候聰明異常，他往往很快就完成作業，然后就嬉鬧不止。他的父母很擔心，怕他今后不會踏實學習，除了教育他以外，還時刻注意他。有一次列寧看到他的妹妹坐在鋼琴邊，不停地彈奏一首樂曲，花了許多小時，才把它彈得正確。為此列寧感悟道：做任何事情，沒有堅毅品質是不行的。列寧的父母知道這件事后才放心，他們知道列寧已經懂得養成勤勞習慣的重要性。第二種類型（接受快但膚淺）的人，他們平常的表現最容易使人迷惑：許多復雜的問題他們一聽就懂，可是他們自己做起來卻經常出錯。他們的家長和老師都誤認為這是由于“粗心”造成的，除了告誡他們要細心以外，家長、老師（甚至他們自己）對這種現象都不在意。舉一個例子，初中學生剛學習有理數時，寫負數時往往會遺漏負號，當你向他指出時，他立刻就知道是自己錯了。人們大都認為這是粗心的原因，殊不知是他在他的意識里還沒有真正接受負數這個概念，也就是說他雖然接受了負數概念（也許很快就接受了）但是卻很“膚淺”，他的潛意識里并沒有它的“真正”位置。因為引導學生思想深化是一件困難的工作，所以對于接受快但膚淺的學生，我們也許更應該留心。除了教育他們不要驕傲（這是由于他們接受快而造成的錯誤）以外，還要訓練他們的思維，讓他們養成深思的習慣。（順便提一下，怎樣培養學生養成深思習慣，如同怎樣提高學生的寫作能力一樣，至今都尚未找到特別行之有效的辦法）第三種類型，即接受慢而深刻，在某種意義上它才是最好的一種類型。領會深本是探索一切知識的必要因素，可是他具有這種優越品質而不覺，有時他還為自己接受慢而苦惱，這樣他對學業從不掉以輕心，為了克服自己接受慢的缺點，他總是“笨鳥先飛”，這樣在漫長的學習生涯中，他養成一種堅忍不拔的品質，這又是一個獲得成功的必要條件。第三種類型的人“天然”地具備了成功的兩個最重要的因素，所以大部分在學術上有成就的人都來自于他們。據說牛頓、愛因斯坦小時候都很“笨”，倘若真是這樣，這便是上面論述最好佐證。另外的例子是真人真事，20世紀偉大的數學家吉伯特（1862—1943），他接受新的思想很慢，但一經接受，在運用和進一步發展這些思想上，就沒有人能和他比擬了。至于第四種類型的人，雖然他們在學業上很費力，但他們的成功機率并不比第一、二種類型的人要少，甚至還要大于第二種類型的人。這種人只要不放棄努力，那么在他艱難的學習過程中，自然會養成一種深刻鉆研的稟性，此是“勤能補拙”之謂也，這正是一切在學術上獲得成就的人所要必備的主要品質。明末清初的一位歷史學家談遷，小時候很愚笨，記性差、反應慢，他對自己所讀的書籍很難弄懂，他很苦惱，不過他鍥而不舍，經常讀書到深夜，由于長期的努力，他終于大徹大悟，從此他便突飛猛進，成為那個時代最有學問的人之一。金庸小說《射雕英雄傳》里的郭靖大概就是這種類型人的最好寫照。總之，無論是哪種類型都有成功希望，只不過有的開始要多費點力氣而已。“聰明”并不是人成功的不可缺少的條件，最重要的是人的刻苦和堅忍，而且隨著人們的成長，差的類型在不斷刻苦努力下，也會迅速朝著最好類型轉化，李白說“天生我材必有用”，是千真萬確的。

二、數學思維方法和數學學習方法

在一切學科中，數學是一門最重要而且最奇怪的學科。它研究的問題似乎虛無飄渺，并不接觸現實世界，但卻有莫名其妙的大功效。麥克斯韋爾認為，研究問題時首先要引入數學概念，以他的名字命名的著名方程就是以這種方法推導出來的。狄拉克也認為，應該遵循數學方向前進，因為“正電子”也滿足以他的名字命名的方程，所以他預言“反物質”正電子的存在，幾十年后人們果然在宇宙射線里發現了它。也許最值得一提的是，陳省身的“纖維叢”幾何學理論，竟然可以平行移動到楊振林的“規范場”物理理論里，對此楊振林感嘆地說：數學家研究數學問題時，根本沒有考慮到物理世界，而卻能深刻地闡述世界，這真令人驚嘆。如今關于物質粒子最新研究的“弦理論”也和數學家丘成桐的微分幾何成就有密切關聯。計算機科學和數學理論的關系同樣也非常密切。就連過去一向被認為是最難找到實際用途的數論也在計算機科學里發揮著重要作用，例如大整數質因數分解定理豐富了密碼學方法：RSA公鑰系統，根據大整數的分解，它采用“公鑰”和“私鑰”技術。[1]由此可見，在數學上花費時間是值得的。一般人并不喜歡數學，他們或者認為數學枯燥無味，或者認為數學深奧難懂。在人們心目中，數學里只有推理，沒有猜測；只有邏輯，沒有藝術；只有抽象，沒有直觀；只有理性，沒有想象。人們感到數學的結果是一步一步推出來的，沒有過人的聰慧是不行的。然而，幸虧事實并非如此，否則我們的數學就不會興旺到如它目前所示，它早就不會吸引任何一個有智慧的人。其實數學是一門融合了人類一切認識世界方法的學科，只是在它整理自己的知識時，才采取了“定義”、“定理”和“證明”嚴格方式，這是為了保證它的結論準確無誤所致。但是這并未妨礙人們用其他方式獲得數學知識，其實最偉大的數學家在他們思考問題時，都是憑借直觀（甚至是最粗糙的直觀）前進的，特別是當他們在做劃時代事業時，更依賴直覺，甚至有時連邏輯也不顧。這在牛頓和萊布尼茲創立微積分時特別明顯。本段敘述直接來自于文獻[2]。明白了上面道理，我們建議：要在感性上下功夫，要理解數學精神實質，即要有數學質感。對數學的學習要運用人類一切認知手段，即實驗、猜測、直觀推理、試錯法、合情推理和正統的邏輯推理；對于基本知識要有透徹了解，基本技能要熟練掌握。對于較難或者很難的題目，應該努力解決它，真正解決不了，也不要氣餒，可以暫時放下，“歷史總是帶著問題前進的”；對一門數學學科，如果你感到對它的任何一個習題，只要有時間你就可能會做出，即使不會做，但對別人做出的看一眼就會，那么這門學科你就基本過關了，沒有必要搞題海戰術，這是我國著名物理學家嚴濟慈的觀點。

三、徹底性原則

創造性思維最顯著的特征就是徹底性。歐氏幾何里有一條平行公理：“在平面內過直線外一點，能且只能引一條直線和它平行”。但在歐幾里德的《幾何原本》里，很遲才引入平行公設，且敘述很啰唆，并不像上述的那樣簡練。后人懷疑歐幾里德并不想把它作為公理，只是“證不了它”，才不得不把它作為一條公設采用。后來的數學家們躍躍欲試，用各種方法試圖證明它，就這樣證明了一千多年。不少人采用“反證法”，得出許多奇特結果，可惜他們認為“荒謬”，就匆忙下結論說，他們發現了矛盾從而證實了平行公設。只有高斯、鮑利埃、羅巴切夫斯基和舊觀念，即認為“歐氏公理體系是唯一正確的”，徹底決裂，他們發現了非歐幾何。高斯懼怕舊觀念勢力，鮑利埃患得患失，他們都沒有發表他們的工作，只有羅巴切夫斯基勇敢地發表了他的成果。[3]同樣，愛因斯坦相對論和量子力學也都是徹底摒棄舊有觀念的好例子。舊有觀念根植于人的潛意識里，人們很難發現它，更難突破它。誠如一位物理學家說，他花了好幾年工夫才真正弄懂相對論，不是由于他知識的缺陷，而是由于他頭腦里的固有觀念妨礙了他的理解。他的話有助于我們理解突破舊觀念時，堅持徹底性原則的重要性。只要是創造性工作，哪怕是很小的創新，實質上都是在突破我們潛意識里某個舊有觀念。希望有所創造的人，對此不可不察。

對思維類型做深入的反思和研究，可以及早發現學生的思維特點，進而就可以給予學生有效的指導和引導，并且我們還要鼓勵學生創造性思維，努力攀登科學的頂峰。

參考文獻：

[1]Michael Sipser.計算理論導引[M].張立昂，黃雄，譯.北京：機械工業出版社，2000.

[2]王健吾.數學思維方法引論[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

[3]斯科特.數學史[M].侯德潤，張蘭，譯.桂林：廣西師范大學出版社，2002.

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關鍵詞：數學教學；思維訓練

數學教育要給予每個人在未來生活中最有用的東西。因此，我們在數學教學中不能把目光停留在數學知識的講解和解題方法的運用上，而應以它們為載體，加強對學生思維能力的訓練。

現代教學論認為，數學教學是數學思維活動的教學。數學教學培養的是學生的思維習慣和思維品質，是數學思維教育素質化的重要內容。思維培養的成功與否將直接影響數學教學質量的提高，影響著中學數學教育改革的深化與發展。

數學思維是人腦和數學對象(空間形式與數量關系)互相作用并按一定規律產生和發展的。數學思維的種類有很多，從具體形象思維到抽象邏輯思維，從直覺思維到辨證思維，從正向思維到逆向思維，從集中思維到發散思維，從再現性思維到創造性思維，從中體現出了多種多樣的思維品質。如思維的深刻性、邏輯性、廣闊性、靈活性、創造性、發散性等。我認為，高中數學教學中主要應通過對學生思維品質的培養達到提高思維能力的目的，具體體現在以下幾個方面：

一、注重對基礎知識、基本概念的教學

高一學生，從初中數學到高中數學將經歷一個和很大的跨度，主要表現在知識內容方面的銜接不自然，對高中數學抽象的數學概念、數學形式極不適應。比如第一冊第一章的集合與簡易邏輯，表面上看似很簡單，而實際運用中卻不能準確把握那些用集合語言所描述的題目含義。再如第二章函數，這是高中數學中的重點內容，教師會花很大的精力去講授，學生會都會下很大力氣來做題，結果卻不如人意。學生做題時主要是在解具體題目時很難與基本概念聯系起來。如經常遇到的二次函數問題，有時是求值域，有時是解方程或不等式，學生感到茫然。我把它們統一在一起，強調二次項系數對稱軸、判別式等幾個因素，幫助學生克服了思維的無序性。這一章內容是思維方法從直觀到抽象、從離散到凝聚的過渡，是訓練學生思維深刻性和廣闊性的重要階段。

二、加強數學思想方法的滲透

高中數學的四大數學思想和十幾種數學方法是教學的關鍵與靈魂。一是解題的方法。為培養學生的應用意識，提高學生分析問題解決問題的能力，教學中應結合具體問題，教給學生解答的基本方法、步驟。二是數學思想方法。思想方法把不同章節、不同類型的數學問題統一了起來，如數形結合思想培養了思維的形象性、創造性，化歸思想提高了學生的靈活性、辨證性等。如換元法是一種常見的變形手段，它不只限于解某一章或某一類的問題。注重對這些思想方法的滲透，可以提高學生歸納總結及聯想能力，將數學知識和方法的理解提高到一個新的階段，這對思維品質的培養十分有益。

三、挖掘數學例題習題的功能

在高三總復習時，教師往往注意培養學生的綜合能力，注重一題多解，一題多問的形式練習，向學生講解大量的習題與解題方法。但學生常常是被動接受，教師給的越多，思維越混亂，結果適得其反。這一時期，教師除了精選習題，重點講解之外，更要在講授方法上有所創新。在講解習題時應注重以下原則：

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【關鍵詞】小學數學；應用題；教學；教師

一、強化基礎訓練，掌握數量關系

基本的數量關系是指加、減、乘、除法的基本應用，比如：求兩個數量相差多少，用減法解答；求一個數是另一個數的百分之幾，用除法解答；求一個數的幾倍是多少，用乘法解答等。任何一道復合應用題都是由幾道有聯系的一步應用題組合而成的。因此，基本的數量關系是解答應用題的基礎。在復習時，我特意安排了一些補充條件的問題和練習，目的是強化學生的基礎知識。使學生看到問題立刻想到解決問題所必需的兩個條件；看到兩個條件能迅速想到可以解決什么問題。在此基礎上再出些有助于訓練發散性思維的練習題。如給出兩個條件：甲數是10，乙數是8，要求學生盡可能地多提出些問題。練習時，先要求學生提出用一步解答的問題，如“甲數比乙數多多少”、“乙數比甲數少多少”、“乙數占甲數的幾分之幾”等。然后再要求學生提出用兩步解答的問題，如“甲數比乙數多幾分之幾”、“乙數比甲數少幾分之幾”、“乙數占兩數和的幾分之幾”等。對于常用的數量關系，復習時我還采用給名稱讓學生編題的練習形式。如已知渭酆妥薌郟編求數量的題目；已知路程和時間，編求速度的題目等。通過這種形式的訓練，使學生進一步牢固掌握基本的數量關系。為解答較復雜的應用題打下良好基礎。在編題訓練的過程中，還要注意指導學生對數學術語的準確理解和運用。只有準確理解，才能正確運用。如增加、增加到、增加了，提高、提高到、提高了，擴大，縮小等。發現錯誤，及時糾正。對易混的術語，如減少了和減少到等要讓學生區別清楚。

二、綜合運用知識，拓寬解題思路

能夠正確解答應用題，是學生能綜合運用所學知識的具體表現。應用題的解答一般采用綜合法和分析法。我們在復習時側重教給分析法。例如：李師傅計劃做820個零件，已經做了4天，平均每天做50個，其余的6天做完，平均每天要做多少個？分析方法是從問題入手，尋找解決問題的條件。即：①要求平均每天做多少個，必須知道余下的個數和工作的天數（6天）這兩個條件。②要求余下多少個，就要知道計劃生產多少個（820個）和已經生產了多少個。③要求已經生產了多少個，需要知道已經做的天數（4天）和平均每天做的個數（50個）。在復習過程中，我注重要求學生把分析思考的過程用語言表述出來。學生能說清楚，就證明他的思維是理順的。既要重視學生的計算結果，更要重視學生表述的分析過程。

三、系統整理歸納，形成知識網絡

在應用題復習中，一題多解是溝通知識之間內在聯系的一種行之有效的練習形式。它不但有助于學生牢固地掌握數量關系，而且可以開闊解題思路，提高學生多角度地分析問題的能力。例如：一個修路隊，原計劃每天修80米，實際每天比原計劃多修20%，結果用12.5天就完成任務。原計劃多少天完成任務？可有下列解法：①80×（1+20%）×12.5÷8=15（天）②12.5×（1+20%）=15（天）③設計劃用x天完成。80x=80×（1+20%）×12.5x=15④設原計劃用x天完成。80∶80×（1+20%）=12.5∶xx=15

四、進行同類題型歸類，并有針對性的進行訓練

小學的數學應用題可以分為若干種類型，比如雞兔同籠問題等。如果教師能夠對這些應用題進行同一類型的歸類，并針對一個類型進行反復的習題訓練，那么學生就會對此類型題有一個全面深刻的認知。當然我們這里所說的有針對性的訓練并不等于題海戰術，題海戰術主要指對學生進行習題的量的訓練，使得學生形成思維定式，從而提高答題的正確率，這種教法不能夠適應目前的素質教育，相反學生在反復的練習中會失去對學習的興趣，最終出現逆反心理，教育就會事倍功半。而同類型題的歸類，則是讓學生對同一類型數學應用題形成了一個全面系統的認識。小學生的理解能力比較低，教師適當的進行同類題型的歸類，既有助于學生解決數學應用題，同時也有利于培養學生的歸類思想。有助于以后的各科學習。

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DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.30.081

一、引言

應用題在小學數學教學和學習中，占有十分重要的地位，同時它也是培養和提升學生運用數學知識來分析問題和借鑒問題的重要途徑。因此，在小學數學的教學實踐中，應用題的比重也在不斷增加。題目的新穎度、實用性和知識的應用性都在不斷提升。但是萬變不離其宗，其教學和解題思路還是有著嚴格的規律，在教學中要培養學生分析應用題和解答應用題的能力。應用題的解答不僅需要學生對課本的基礎知識有熟練的把握和應用，還要求學生有著相應的分析、判斷和推理的能力。這些數學思維和能力是需要按照一定的思路和策略進行培養的，本文對這一系列方法進行了總結，按照審題、解題、答題的思路進行了相應的闡述。

二、數學應用題教學思路探究

（一）精準鎖定題目類型

要想進行應用題的解答，首先要確定題目的類型，并根據題目的類型鎖定相應的知識點。在蘇教版小學數學的教材中，應用題的題型非常多，既有圖文結合的，又有對話式的還有表格式的，而且應用題的信息量普遍比較大，有時候在綜合考核中甚至包含幾道應用題。因此，在解題上必須要會審題，要鎖定題目的類型。尤其是對低年級的學生而言，審題就顯得尤為重要了。要從題目的大意中判斷題目的考查點，小學應用題的類型非常多，有行程類的、有工程類的、銷售類的，還有幾何問題的，面積類的、周長類的等等。當然根據知識點分類也可以分為多種類型，單位一的問題、百分數的問題等等。當然，類別非常多，需要的知識點也非常多。尤其是數學廣角問題中所蘊涵的數學應用題的知識點更是非常多，學生必須會根據題目中的語言進行應用題類型的歸納，這是應用題解題的第一步。

（二）有效分析關鍵句

大致分析并確定了題目所歸屬的類型才能更好地展開思考，根據知識點和相關例題去分析題目中的關鍵句，從關鍵句中提煉出有效的數學語言。

例如，媽媽買了3千克桔子和4千克蘋果，共花了23.4元。每千克蘋果的價錢是桔子的1.5倍。每千克蘋果和桔子各多少元？

上面這道題明顯是屬于單價、數量和總價的問題類別，屬于求單價的問題，這道題中的關鍵句就是3千克橘子和4千克蘋果共花了23.4元，其中蘋果的單價是橘子的1.5倍。我們可以根據方程中，是誰的設誰為未知數的原則設橘子的單價為x，那么蘋果的單價就是1.5x，這樣數學語言一下子就明確了，所有的已知條件也被應用了，解題的思路也就明確了。

因此，在解題的時候要根據具體的題型找出題目中的關鍵句，然后根據關鍵句提煉出其中所包含的數學語言，根據數學語言為之后的等量關系的確定做好充分的準備。

（三）迅速確立等量關系

在應用題的解答中，確立等量關系是教學過程中的重中之重，等量關系的確定首先考評的是學生對于知識點的掌握，然后是對題目類型的分析能力和對題目材料的提煉能力。在新課的教授過程中，等量關系的確立相對比較簡單，因此，題目的類型在剛剛學過的課程當中，根據例題能夠比較好地找到相應的題型解答思路，也能找到相應的等量關系。但是，在處理一些綜合題目的時候，找題目的等量關系就相對來說比較難了。根據上文提到的關鍵句找到題目中形成等量關系的關鍵詞，例如，“是”“比”“多”“少”“提前”“共”這樣明顯蘊涵等量關系的字眼，然后根據字眼來確定方程或算式中的等量關系式。數學語言中這些重要的字眼要及時總結，讓學生見到這些字眼形成敏感性，知道這些字眼背后的等量關系。除此之外，還要明確常見的等量關系式，如速度、時間、路程問題，工作總量、工作時間和工作效率問題。在單位一的應用題解答中，如果單位一明確已知，那么一般采用乘法進行解答，如果單位一未知，一般用方程或者除法進行解答。把這些思路結合具體的題目進行教授，讓學生形成明確的解題思路對于應用題的解答會產生事半功倍的作用。

（四）根據需求進行列式計算

找到等量關系式是應用題能夠解答的基礎和前提，但是根據需求的列式以及已經列式之后的計算也是很多學生出現錯誤的一個集中點。在列式的時候要求學過方程的學生盡量用方程進行解答。在解答的時候要注意計算，計算結果是可以自我檢查的，不合邏輯的答案、大數額的計算都是有可能出現錯誤的。蘇教版的數學教學中，主要以考查學生的學習能力為主，不會注重學生的計算能力。所以要和學生明確，一旦出現答案的“怪異性”一定要進行追根溯源的檢查核算。當然，在計算的過程中也要強調學生列式合理，根據等量關系進行列式，同時，還要嚴格按照步驟進行解題，即使步驟不能一一體現在考卷中，也要在演算中注意步驟的嚴謹性，盡量不要跳躍，避免不該有的錯誤。

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【關鍵詞】 數學；開放型題；提高解題能力；學法指導

課程改革以來，數學開放題逐漸成為中考的熱點，各地每年都有不同程度地出現這種類型題。從學生答題情況看，開放題得分率普遍較低。所以教師在教學活動中，要加強學法指導，加強針對性訓練，盡可能提高學生解答此類題目的能力。

一、開放型問題分類及特點

縱觀數學開放題，常見的有條件開放型，結論開放型，策略開放型，綜合開放型等四種不同類型的問題。

（1）條件開放型：條件開放題主要特點是條件不充分，一般采用"執果索因"的方法，需要學生根據所掌握的知識進行逆向思維。解題思路一般是，由已知的結論反思題目應具備怎樣的條件，即從題目的結論出發，結合圖形挖掘條件，逆向追索，逐步探尋，是一種分析型思維方式，這類開放題在中考試卷中較多出現在填空題。

例1．如圖，∠DAB=∠CAD，請添加一個條件： ，便得ΔDAB≌ΔCAB。

解：AD=AC，可用邊角邊證全等；∠ADB=∠ACB，可用角角邊證全等；∠ABD=ABC，可用角邊角證全等。

（2）結論開放型：結論開放型的解題方法是充分利用已知條件或圖形特征，進行猜想、歸納、類比，透徹分析出給定條件下可能存在的結論現象，然后經過論證作出取舍，這是一種歸納類比型思維，這類開放題在中考試卷中，一般出現在解答題型中。

例2．函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，為該圖象的對稱軸，根據這個圖象，你能得到關于該函數的哪些性質和結論？寫出四個即可。

解:①頂點在第四象限；②與x軸有兩個交點；③a>0；④與y軸交于負半軸；⑤-1

例3．如圖O的弦AB、CD的延長線相交于點E.請你根據上述條件，寫出一個結論（不準添加新的線段及標注其他字母）并給出證明。(證明時允許自行添加輔助線)

解： ①連結AD、BC，證ΔADE～ΔCBD

證明：連結AD、BC，∠EAD=∠ECB，∠E=∠E

ΔADE～ΔCBD

②連結AC、BD，證ΔACE～ΔDBE

③AE×BE=CE×DE

（3）策略開放型：策略開放題只給出一定的問題情景，條件，解題策略，結論中的兩個或全部都要求學生在情景中自行設定和尋找。策略開放型也稱設計方案型，這類型的開放性試題的處理方法一般需要模仿、類比、試驗，創新和綜合運用所學知識，建立合理的數學模型，從而使問題得以解決。這是一種綜合性思維，這種類型的開放題在中考試卷中一般出現在閱讀題、作圖題和應用題中。

例4．如圖，在ΔABE和ΔACD中，給出以下四個論斷：①AB=AC；②AD=AE；③AM=AN；④ADDC，AEEB.以其中三個論斷為題設，填入下面的"已知"欄中，一個論斷為結論，填入下面的"求證"欄中，使之組成一個真命題。

已知：如圖，在ΔABE和ΔACD中， 。求證： 。

分析：對此題，必須先引導學生找出三組全等形，即ΔADC≌ΔAEB，ΔAMC≌ΔANB，ΔADM≌ΔAEN，再恰當運用三角形全等的判定和性質定理進行創造性思維，才能得出正確解答。

解：

①已知：如圖，在在ΔABE和ΔACD中，AD=AE，AM=AN，ADDC，AEEB

求證：AB=AC

②已知：如圖，在在ΔABE和ΔACD中，AB=AC，AD=AE，ADDC，AEEB

求證：AM=AN

③已知：如圖，在在ΔABE和ΔACD中，AB=AC，AM=AN，ADDC，AEEB

求證：AD=AE

二、開放型題解題策略，思想方法

解題時，要先進行觀察、試驗、類比、歸納、猜想出結論或條件，然后嚴格證明，同時，通常要結合以下數學思想方法，分類討論，數形結合，分析綜合，歸納猜想，構建模型等。

1.轉化與化歸思想:是把那些待解決或難解決的問題化歸到已有知識范圍內可解問題的一種重要的基本數學思想。數學中新知識的學習過程,就是一個在已有知識和新概念的基礎上進行化歸的過程。因此,化歸思想在數學中無處不在，化歸思想在解題教學中的的運用可概括為:化未知為已知,化難為易,化繁為簡。從而達到知識遷移使問題獲得解決。

2.分類與整合思想:是當數學對象的本質屬性在局部上有不同點而又不便化歸為單一本質屬性的問題解決時,而根據其不同點選擇適當的劃分標準分類求解,并綜合得出答案的一種基本數學思想。但要注意按劃分標準所分各類間應滿足互相排斥,不重復,不遺漏,最簡潔的要求，在解題教學中常用的劃分標準有：按定義劃分；按公式或定理的適用范圍劃分；按運算法則的適用條件范圍劃分；按函數性質劃分；按圖形的位置和形狀的變化劃分；按結論可能出現的不同情況劃分等。

3.函數與方程思想:就是用運動和變化的觀點去分析研究具體問題中的數量關系,抽象其數量特征,建立函數關系式,利用函數或方程有關知識解決問題的一種重要的基本數學思想。

4.數形結合思想:將數學問題中抽象的數量關系表現為一定的幾何圖形的性質(或位置關系)；或者把幾何圖形的性質(或位置關系)抽象為適當的數量關系,使抽象思維與形象思維結合起來,實現抽象的數量關系與直觀的具體形象的聯系和轉化,從而使隱蔽的條件明朗化,是化難為易,探索解題思維途徑的重要的基本數學思想。

總之，開放型題應分類型教學，讓學生清楚解題思路，所用思想方法。要有針對性的學法教育，要有針對性的訓練。

參考文獻

[1]趙國菊.數學開放型問題解法探析[J]

[2]謝雅禮.對構建數學"探究式"課堂教學模式的實踐與認識[J]

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關鍵詞：初高中 數學課堂 區別差異

一些初中畢業生以較高的數學成績升學后，不適應高一級學校的數學教學，相當多的高一學生數學不及格，出現了嚴重的兩極分化，有少數學生甚至對學習失去了信心.我想造成這一結果的主要原因是這些同學不了解高中數學的特點，學不得法，從而造成成績滑坡.下面我就談談初高中數學的差異性。

一、知識差異

初中數學知識少、淺、難度容易、知識面笮。高中數學知識廣泛，將對初中的數學知識推廣和引伸，也是對初中數學知識的完善。如：初中學習的角的概念只是“0°—180°”范圍內的，但實際當中也有720°和“-300°”等角，為此，高中將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負在內的所有大小角。又如：高中要學習《立體幾何》，將在三維空間中求一些幾何實體的體積和表面積；還將學習“排列組合”知識，以便解決排隊方法種數等問題。如：①三個人排成一行，有幾種排隊方法，（ =6種）；②四人進行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場次？（答： =3種）高中將學習統計這些排列的數學方法。初中中對一個負數開平方無意義，但在高中規定了i2= -1，就使-1的平方根為±i.即可把數的概念進行推廣，使數的概念擴大到復數范圍等。這些知識同學們在以后的學習中將逐漸學習到。

二、學習方法的差異

1.初中課堂教學量小、知識簡單，通過教師課堂教慢的速度，爭取讓全面同學理解知識點和解題方法，課后老師布置作業，然后通過大量的課堂內、外練習、課外指導達到對知識的反反復復理解，直到學生掌握。而高中數學的學習隨著課程開設多（如：高一有八門課同時學習），每天至少上八節課，自習時間四節課，這樣各科學習時間將大大減少，而教師布置課外題量相對初中減少，這樣集中數學學習的時間相對比初中少，高中數學教師將不能向初中那樣監督每個學生的作業和課外練習，就不能向初中那樣把知識讓每個學生掌握后再進行新課。

2.模仿與創新的區別。初中學生模仿做題，他們模仿老師思維推理較多，而高中模仿做題、思維學生有，但隨著知識的難度大和知識面廣泛，學生不能全部模仿，即使就是學生全部模仿訓練做題，也不能開拓學生自我思維能力，學生的數學成績也只能是一般程度。現在高考數學考察，旨在考察學生能力，避免學生高分低能，避免定勢思維，提倡創新思維和培養學生的創造能力培養。初中學生大量地模仿使學生帶來了不利的思維定勢，對高中學生帶來了保守的、僵化的思想，封閉了學生的豐富反對創造精神。如學生在解決：比較a與2a的大小時要不就錯、要不就答不全面。大多數學生不會分類討論。

三、學生自學能力的差異

初中學生自學能力低，大凡考試中所用的解題方法和數學思想，在初中教師基本上已反復訓練，老師把要學生自己高度深刻理解的問題，都集中表現在他的耐心的講解和大量的訓練中，而且學生的聽課只需要熟記結論就可以做題（不全是），學生不需自學。但高中的知識面廣，知識全部要教師訓練完高考中的習題類型是不可能的，只有通過較少的、較典型的一兩道例題講解去融會貫通這一類型習題，如果不自學、不大量的閱讀理解，將會使學生失去一類型習題的解法。另外，科學在不斷的發展，考試在不斷的改革，高考也隨著全面的改革不斷的深入，數學題型的開發在不斷的多樣化，近年來提出了應用型題、探索型題和開放型題，只有學生的自學去深刻理解和創新才能適應現代科學的發展。其實，自學能力的提高也是一個人生活的需要，他從一個方面也代表了一個人的素養，人的一生只有18---24年時間是有導師的學習，其后半生，最精彩的人生是人在一生學習，自學最終達到了自強。

四、思維習慣上的差異

初中學生由于學習數學知識的范圍小，知識層次低，知識面笮，對實際問題的思維受到了局限，就幾何來說，我們都接觸的是現實生活中三維空間，但初中只學了平面幾何，那么就不能對三維空間進行嚴格的邏輯思維和判斷。代數中數的范圍只限定在實數中思維，就不能深刻的解決方程根的類型等。高中數學知識的多元化和廣泛性，將會使學生全面、細致、深刻、嚴密的分析和解決問題。也將培養學生高素質思維。提高學生的思維遞進性。

五、定量與變量的差異

篇(7)

關鍵詞：小學數學；應用題；教學；教師

一、強化基礎訓練，掌握數量關系

基本的數量關系是指加、減、乘、除法的基本應用，比如：求兩個數量相差多少，用減法解答；求一個數是另一個數的百分之幾，用除法解答；求一個數的幾倍是多少，用乘法解答等。任何一道復合應用題都是由幾道有聯系的一步應用題組合而成的。因此，基本的數量關系是解答應用題的基礎。在復習時，我特意安排了一些補充條件的問題和練習，目的是強化學生的基礎知識。使學生看到問題立刻想到解決問題所必需的兩個條件；看到兩個條件能迅速想到可以解Q什么問題。在此基礎上再出些有助于訓練發散性思維的練習題。如給出兩個條件：甲數是10，乙數是8，要求學生盡可能地多提出些問題。練習時，先要求學生提出用一步解答的問題，如“甲數比乙數多多少”、“乙數比甲數少多少”、“乙數占甲數的幾分之幾”等。然后再要求學生提出用兩步解答的問題，如“甲數比乙數多幾分之幾”、“乙數比甲數少幾分之幾”、“乙數占兩數和的幾分之幾”等。對于常用的數量關系，復習時我還采用給名稱讓學生編題的練習形式。如已知單價和總價，編求數量的題目；已知路程和時間，編求速度的題目等。通過這種形式的訓練，使學生進一步牢固掌握基本的數量關系。為解答較復雜的應用題打下良好基礎。在編題訓練的過程中，還要注意指導學生對數學術語的準確理解和運用。只有準確理解，才能正確運用。如增加、增加到、增加了，提高、提高到、提高了，擴大，縮小等。發現錯誤，及時糾正。對易混的術語，如減少了和減少到等要讓學生區別清楚。

二、綜合運用知識，拓寬解題思路

能夠正確解答應用題，是學生能綜合運用所學知識的具體表現。應用題的解答一般采用綜合法和分析法。我們在復習時側重教給分析法。例如：李師傅計劃做820個零件，已經做了4天，平均每天做50個，其余的6天做完，平均每天要做多少個？分析方法是從問題入手，尋找解決問題的條件。即：①要求平均每天做多少個，必須知道余下的個數和工作的天數（6天）這兩個條件。②要求余下多少個，就要知道計劃生產多少個（820個）和已經生產了多少個。③要求已經生產了多少個，需要知道已經做的天數（4天）和平均每天做的個數（50個）。在復習過程中，我注重要求學生把分析思考的過程用語言表述出來。學生能說清楚，就證明他的思維是理順的。既要重視學生的計算結果，更要重視學生表述的分析過程。

三、系統整理歸納，形成知識網絡

在應用題復習中，一題多解是溝通知識之間內在聯系的一種行之有效的練習形式。它不但有助于學生牢固地掌握數量關系，而且可以開闊解題思路，提高學生多角度地分析問題的能力。例如：一個修路隊，原計劃每天修80米，實際每天比原計劃多修20%，結果用12.5天就完成任務。原計劃多少天完成任務？可有下列解法：①80×（1+20%）×12.5÷8=15（天）②12.5×（1+20%）=15（天）③設計劃用x天完成。80x=80×（1+20%）×12.5x=15④設原計劃用x天完成。80∶80×（1+20%）=12.5∶xx=15

四、進行同類題型歸類，并有針對性的進行訓練

小學的數學應用題可以分為若干種類型，比如雞兔同籠問題等。如果教師能夠對這些應用題進行同一類型的歸類，并針對一個類型進行反復的習題訓練，那么學生就會對此類型題有一個全面深刻的認知。當然我們這里所說的有針對性的訓練并不等于題海戰術，題海戰術主要指對學生進行習題的量的訓練，使得學生形成思維定式，從而提高答題的正確率，這種教法不能夠適應目前的素質教育，相反學生在反復的練習中會失去對學習的興趣，最終出現逆反心理，教育就會事倍功半。而同類型題的歸類，則是讓學生對同一類型數學應用題形成了一個全面系統的認識。小學生的理解能力比較低，教師適當的進行同類題型的歸類，既有助于學生解決數學應用題，同時也有利于培養學生的歸類思想。有助于以后的各科學習。

五、使用數學錯題本，進行錯因歸類

在教育一線的教師們都知道，學生對于一些自己做錯的題型，即使經過老師的講解和訂正，但是如果出現同題，學生的錯誤率還是比較高的。針對這一問題，我們小學的數學教學要求學生應該人手一個錯題本，將自己做錯的應用題進行雙色筆的記錄。冰妖利用課余時間，或者是每天家庭作業完成之后、寫家庭作業之前等零散的時間，對當天的錯題本進行重復記憶和分析。如果允許，教師或者家長應該陪伴孩子分析錯因，進行思維強化。我在教學的過程中始終使用數學錯題本，學生的數學成績明顯提升，而且學生學習數學的難度降低，自然對數學學習越來越感興趣。正所謂興趣是最好的老師，能有什么比讓學生愛上數學更有意義的呢。綜上所述，小學數學的應用題是小學數學教學中的一個難點，這是因為應用題具有一定的解決實際問題的能力，是學生未來生活的一個基本技能，同時小學數學的應用題也是教學中的一個難點，主要是因為小學生的認知水平和思維水平有局限性，對于生活中的常見問題停留在理論上，難以進行深入的理解。我們文章中從小學數學應用題教學的思路到方法提供了五項比較可行性的操作辦法，當然一些小學數學教師可能已經在小學數學的應用題問題上走在了教育研究的前言，僅以我的一家之言，難免有限，希望廣大的小學數學教師能夠一道致力于學生數學興趣的開發，小學數學應用問題的高效教學的研究，共同提高小學生數學的綜合素養，為國家培養優秀學生。

參考文獻：