序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇余弦定理教案范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

篇(1)

關鍵詞： 橢圓 幾何性質 創新教學

橢圓的簡單幾何性質包括橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率、橢圓的第二定義，等等，是我們解析幾何內容的一個重點，很多教材往往把它單獨分成幾塊拿出來討論，顯得聯系不緊密，學生學習時感到很困惑.特別是橢圓的第二定義，我們選用的教材沒有作具體闡述，但為了給出圓錐曲線的統一定義，我們有必要做拓展.而高中教材是通過一個例子給出的，也感覺思路不蹈常規，當然這一切都是教材的簡潔性決定的.我在這部分內容教學設計中，創設了問題情境，把這些內容有機串聯起來，整個過程如同一次重大戰役，環環緊扣，層層深入，促進學生思維的發散，加強學生創新意識的培養.過程如下。

一、以問題為中心，注重過程教學

首先，設計如下情境，提出反常規的問題.

設M（x，y）是橢圓上任意一點，焦點F 和F 的坐標分別是（-c，0），（c，0）（如圖1）.由橢圓的定義可得：

+ =2a（1）

將這個方程移項，兩邊平方得

a -cx=a （2）

兩邊再平方，整理得

+ =1（a>b>0）（3）

問題1：為什么將（3）式作為橢圓的標準方程？

對于這一問題的提出，學生首先會感到奇怪，似乎（3）式作為標準方程是順理成章的，預先規定的，進而師生共同展開熱烈討論，然后教師總結.我總結大致有以下幾點理由：

1.（3）式簡捷，具有對稱的美感.

2.（3）式為我們提供了求橢圓軌跡的標準方程，方便用待定系數法求解軌跡的方程.

3.根據解析幾何用曲線的方程研究曲線的幾何性質這一特點，（3）式方便研究橢圓的幾何性質.

針對上述理由3，教師可以組織學生就如何利用（3）式從整體上把握橢圓的曲線的形狀，展開討論.這樣便自然引出：范圍、對稱性、頂點、離心率等教材中要求的內容.若要進一步研究橢圓的曲線，就需要列表、描點、連線等常用手段，于是課文中的例3便自然出來了.

二、以探究為熱點，培養創新意識

由于有了第一節課的基礎，本節課教師的問題設計顯然很自然了.

老師：上節課我們討論了（3）式作為橢圓標準方程的諸多優點，自然我們會有：

問題2：將（3）式作為橢圓的標準方程有什么缺點？

對于這一問題學生感到有些困難，教師和學生一起比較圓的標準方程的優點后，發現（3）式無法揭示橢圓上的動點到定點的距離之和等于定長2a這一本質屬性，相比之下（1）式恰好具有這一優點.于是師生一起可以討論（1）式的優缺點，具體可得：

1.（1）式充分揭示了橢圓的定義.

2.（1）式難以討論橢圓的其他幾何性質，如范圍、對稱性、頂點，等等.

通過以上討論，自然產生問題3：是否存在一個方程，同時體現橢圓的第一定義和橢圓的幾何性質？自然將目光轉向（2）式，將（2）式變形，得

=a- x（4）

即|MF |=a-ex（5）

同理可得|MF |=a+ex （6）

將（2）式再變形，得

= （ -x）

即 = （7）

（5）（6）兩式將橢圓上點到焦點的距離轉化為只和焦點的橫坐標有關的一維算式，充分體現了數學降維思想.而（7）式正好揭示了橢圓的第二定義，如圖2所示.

如此處理教材，自然流暢，既能完成教學任務，又能充分揭示知識的發生過程，通過被人們所遺棄的（2）式，挖掘出如此寶貴的教學成果，這會讓學生興奮不已.在品嘗創新果實的同時也培養了學生的創新能力.

三、以反思為主調，奏響創新旋律

務必指出，反思是創新的源泉.通過前二節課的探索，特別是第二課時獲得一系列創新成果以后，教師更要引導學生養成良好的反思習慣，打破思維定勢，爭取更大的突破.

總結上二節課的討論，我們發現對（1）式的每一次變形，都會取得一系列令人激動的科學成果，那么自然會問：

問題4：（1）式還有其他變形嗎？如果有又能得到什么收獲呢？

此時，學生的思維已被激活，討論積極，熱情高漲，通過討論可獲得一系列成果如下。

成果一：將（1）兩邊平方，整理可得：

? +x +y =a +b （8）

（8）式揭示了橢圓的又一本質屬性：

|MF ||MF |+|MO| =a +b ，

即，橢圓上動點到兩焦點的距離之積，和它到橢圓中心距離的平方之和等于常數（如圖3）.

成果二：將（5）（6）代入（8）式可得：

|MO|= （9）

若將動點到中心的長度稱為橢圓的半徑，那么（9）式給出了橢圓半徑的計算方法，它只和該點的橫坐標有關，同樣起到降維作用.

成果三：若將（1）式的兩邊乘以 - ，整理可得：

= （10）

（10）式給出了橢圓的又一本質屬性：即橢圓上動點到兩焦點的距離之差與該點到橢圓的一條對稱軸（垂直于焦點所在直線）的距離之比是一個常數.

成果四：在F MF 中（圖1），設∠F MF =α，則由余弦定理可得：

4c =|MF | +|MF | -2|MF ||MF |cosα

=（|MF |+|MF |） -2|MF ||MF |（1+cosα）

=4a -2|MF ||MF |（1+cosα）

所以|MF ||MF |= （11）

將（11）式代入（8）式可得：

|MO|= （12）

（12）式給出了橢圓半徑與動點到兩焦點連線所成角的關系.

應該指出：本節課的創新討論是無止境的，關鍵在于培養學生的創新意識，當然由于學生的程度不同，得到的成果也不同，無論如何，教師都應給予學生充分肯定.

從對（1）式做變形看，自然也可考慮將其他式子變形，如將（3）式變形成

= ，于是可得，橢圓上動點到兩焦點A（-a，0），B（a，0）的連線的斜率之積等于常數.

參考文獻：

[1]李佰春.數學教育學[M].合肥：安徽大學出版社，2004.

[2]顧沅.教學任務與案例分析.上城教育信息港.

[3]顧沅.追求卓越―教師專業發展案例研究[M].人民教育出版社.