序論：寫作是一種深度的自我表達(dá)。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇勾股定理證明方法范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創(chuàng)作。

篇(1)

    一、邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

    數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史包括兩種典型的數(shù)學(xué)文化:一種是重視邏輯推理的希臘數(shù)學(xué)文化,一種是重視實(shí)際應(yīng)用的中國數(shù)學(xué)文化.

    數(shù)學(xué)史家將古希臘數(shù)學(xué)按時(shí)間分期:第一期從公元前600年到前323年;第二期從公元前323年到前30年,也稱亞歷山大前期;第三期從公元前30年到公元600年,也稱亞歷山大后期[3].前兩個(gè)時(shí)期,希臘數(shù)學(xué)文化認(rèn)為,數(shù)學(xué)命題只有通過幾何形式的邏輯推理論證才能說明其正確性,論證數(shù)學(xué)成為數(shù)學(xué)研究的主流,幾何形式的邏輯推理證明成為數(shù)學(xué)成果正確與否的衡量標(biāo)準(zhǔn).這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)逐漸發(fā)展成為對(duì)數(shù)學(xué)研究的期望或理想,即期望數(shù)學(xué)成果能夠通過幾何形式的邏輯推理來論證.在“亞歷山大后期”,古希臘數(shù)學(xué)突破了之前以幾何為中心的傳統(tǒng),算術(shù)、數(shù)論和代數(shù)逐漸脫離了幾何的束縛.這一時(shí)期受羅馬實(shí)用思想的影響,論證數(shù)學(xué)不再盛行,如海倫的《量度》中有不少命題沒有證明.但論證數(shù)學(xué)中的邏輯推理在數(shù)學(xué)研究中仍占有重要位置,如丟番圖《算術(shù)》書中采用純分析的途徑處理數(shù)論與代數(shù)問題[4].邏輯推理從幾何論證中脫離出來,邏輯推理解決問題的思想發(fā)展成為數(shù)學(xué)研究的新理想,即希望數(shù)學(xué)問題可以通過純邏輯推理的方法解決.縱觀整個(gè)希臘數(shù)學(xué)文化,數(shù)學(xué)研究成為滿足上述兩種理想而付出的勞動(dòng),成為實(shí)現(xiàn)個(gè)人價(jià)值、滿足求知欲的社會(huì)需求而付出的勞動(dòng).究其本質(zhì),邏輯推理思想是幾何論證與分析法解決問題的根本,是上述兩種理想中最本質(zhì)的思想,并且滿足動(dòng)機(jī)的定義.因此它是古希臘數(shù)學(xué)研究的一個(gè)動(dòng)機(jī),也是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的一個(gè)動(dòng)機(jī).

    中國古代數(shù)學(xué)在整體發(fā)展上表現(xiàn)為算法的建構(gòu)和改進(jìn)[5].所謂“算法”不只是單純的計(jì)算,而是為了解決一整類實(shí)際或科學(xué)問題而概括出來的、帶有一般性的計(jì)算方法[4].算學(xué)的目的在于解決實(shí)際問題,而實(shí)際問題是層出不窮的,因此中國古代數(shù)學(xué)不僅經(jīng)受住了統(tǒng)治者廢除“明算”科的考驗(yàn),甚至還有所發(fā)展,如元末明初珠算的普及.隨著中國數(shù)學(xué)文化的形成,用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題成為算學(xué)的理想,即期望數(shù)學(xué)成果能夠被實(shí)際應(yīng)用.中國古代數(shù)學(xué)研究成為受這個(gè)理想而支配的勞動(dòng),成為實(shí)現(xiàn)個(gè)人價(jià)值、滿足求知欲的社會(huì)需求而付出的勞動(dòng).實(shí)際應(yīng)用滿足動(dòng)機(jī)的定義,因此它是中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)動(dòng)機(jī),也是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的一個(gè)動(dòng)機(jī).

    所以邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)動(dòng)機(jī),按動(dòng)機(jī)的分類它們屬于驅(qū)力,是從生理需要出發(fā)的內(nèi)在動(dòng)機(jī).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以認(rèn)為是有方向性的對(duì)已有數(shù)學(xué)成果的再次研究過程,可以看作是數(shù)學(xué)研究的特例形式.依據(jù)歷史發(fā)生原理綜合分析得出:人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在動(dòng)機(jī)一定會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來,即激勵(lì)人類研究數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)與激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)是一致的.

    從實(shí)際情況出發(fā),邏輯推理可以作為生活中一種娛樂形式,如邏輯推理游戲、邏輯推理小說、邏輯推理電影等都深受公眾喜歡;而實(shí)際應(yīng)用也是大家十分感興趣的,如通過應(yīng)用基本的空氣動(dòng)力學(xué)知識(shí)制作航模.

    綜上所述,邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),且這兩個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是學(xué)生共有的、內(nèi)在的,也是在實(shí)際教學(xué)中易于對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

    古希臘數(shù)學(xué)中的公理化思想是希臘數(shù)學(xué)文化的重要特點(diǎn)之一.公理化思想出現(xiàn)的標(biāo)志是歐幾里得的《幾何原本》.在數(shù)學(xué)中引入邏輯因素,對(duì)命題加以證明,一般認(rèn)為是從伊奧尼亞學(xué)派開始的,但畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在這一方面作了重大的推進(jìn),他們的工作可以說是歐幾里得公理化體系的前驅(qū)[3].因此公理化思想的提出要晚于邏輯推理思想,公理化思想是邏輯推理思想的發(fā)展.

    算法程序化思想是中國數(shù)學(xué)文化的另一個(gè)重要特點(diǎn).算法程序化思想出現(xiàn)的標(biāo)志是成書于公元前后的《九章算術(shù)》.實(shí)際應(yīng)用思想雖沒有明確的出現(xiàn)標(biāo)志,但在《九章算術(shù)》成書前的《周髀算經(jīng)》、《算數(shù)書》等書中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)都蘊(yùn)含著明確的實(shí)際應(yīng)用思想.算法的提出是為了解決一類實(shí)際問題,算法程序化為了使算法嚴(yán)謹(jǐn)、簡明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于實(shí)際應(yīng)用思想,且算法程序化思想是實(shí)際應(yīng)用思想的發(fā)展.

    隨著數(shù)學(xué)發(fā)展,公理化思想與算法程序化思想已應(yīng)用到現(xiàn)代數(shù)學(xué)中,成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn).但它們不是貫穿整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)與中國古代數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在因素,而是邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)思想發(fā)展的衍生物.公理化思想與算法程序化思想也可作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī),但適宜群體明顯要少得多.數(shù)學(xué)發(fā)展至今,數(shù)學(xué)本身的文化區(qū)域性特點(diǎn)淡薄了,希臘數(shù)學(xué)文化與中國數(shù)學(xué)文化背后的驅(qū)力——邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用思想,早已相互融合.近代微積分的應(yīng)用及理論的嚴(yán)密化過程就是一例.

    二、比較古今數(shù)學(xué)教材以研究初中教材兩個(gè)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的培養(yǎng)

    教材是教學(xué)中最重要的用書之一,是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù).《幾何原本》、《九章算術(shù)》作為西方與中國的數(shù)學(xué)教科書都有千年之久.兩本著作都反映了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)文化背景.重視邏輯推理與重視實(shí)際應(yīng)用分別成為教學(xué)思想包含在這兩本書中.

    因?yàn)椤毒耪滤阈g(shù)》作為教材多將劉徽注釋加入其中,所以將現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材與《幾何原本》、《九章算術(shù)及劉徽注》進(jìn)行比較研究.為增加3者的可比性,選擇它們共有的內(nèi)容,且知識(shí)體系完備,預(yù)備知識(shí)基本一致,學(xué)生認(rèn)知水平大抵相同的勾股定理部分作為比較對(duì)象.這種比較雖不能以點(diǎn)代面,但仍有較強(qiáng)的代表性與啟發(fā)性.現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材采用經(jīng)全國中小學(xué)教材審定委員會(huì)2004年初審?fù)ㄟ^的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)[6],以第18章第1節(jié)勾股定理內(nèi)容為標(biāo)準(zhǔn),選擇《幾何原本》、《九章算術(shù)及劉徽注》部分內(nèi)容進(jìn)行比較.因《幾何原本》的成書結(jié)構(gòu)是公理化體系,利用已知命題證明未知命題,且命題后沒有輔助理解該命題的習(xí)題,所以選擇其中與勾股定理有關(guān)或利用勾股定理證明的命題作為比較對(duì)象.由于初中教材在講解勾股定理時(shí),預(yù)備知識(shí)中未包含圓、無理量及立體幾何內(nèi)容,故選擇《幾何原本》[7]第Ⅰ卷命題47、48,第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13作為比較對(duì)象.《九章算術(shù)及劉徽注》的勾股章是利用直角三角形性質(zhì)求高深廣遠(yuǎn),因初中教材勾股定理的預(yù)備知識(shí)中沒有相似三角形及勾股數(shù)組的內(nèi)容,所以選擇《九章算術(shù)及劉徽注》[8]勾股章[一]至[一四]題及[一六]題作為比較對(duì)象.

    1.各種教材中勾股定理的內(nèi)容

    (1)編寫目的

    《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修改稿)》(下簡稱為《標(biāo)準(zhǔn)》)中勾股定理的教學(xué)要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題[9].《幾何原本》與《九章算術(shù)及劉徽注》雖沒有類似的編寫標(biāo)準(zhǔn),但可以從它們的內(nèi)容及成書體系分析得出.《幾何原本》利用勾股定理轉(zhuǎn)換面積間關(guān)系證明幾何問題,即在直角三角形中,兩直角邊上正方形面積和與斜邊上正方形面積可以相互轉(zhuǎn)換.如第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13都是利用這種思想.《九章算術(shù)及劉徽注》利用勾股定理數(shù)量關(guān)系求得高深廣遠(yuǎn),解決實(shí)際生活的問題.

    (2)知識(shí)框架

    初中教材通過生活發(fā)現(xiàn)與幾何直觀探索,建立從實(shí)際到理論再到實(shí)際的知識(shí)體系,并運(yùn)用定理解決簡單問題.《幾何原本》通過已知命題推導(dǎo)勾股定理,建立從理論到理論純幾何形式的知識(shí)體系,重在證明未知命題.《九章算術(shù)及劉徽注》通過給出3個(gè)簡單幾何問題“術(shù)”,建立從理論到實(shí)際的應(yīng)用知識(shí)體系,旨在解決實(shí)際問題.3者建構(gòu)的知識(shí)框架各不相同.

    (3)定理引入

    初中教材的導(dǎo)入分為兩部分,分析畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的定理特例與探究定理的一般形式.《幾何原本》受公理化體系的影響,它的導(dǎo)入可以認(rèn)為是定義、公理、公設(shè)及已知命題.《九章算術(shù)及劉徽注》的導(dǎo)入是3個(gè)已知兩邊求第三邊的簡單幾何問題.

    (4)定理表述

    初中教材用特例猜想定理的一般形式給出勾股定理[6]:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,斜邊為c,那么《幾何原本》的勾股定理以命題形式給出:在直角三角形中,直角所對(duì)邊上的正方形等于夾直角兩邊上的正方形[10].《九章算術(shù)及劉徽注》中的勾股定理以3個(gè)簡單幾何問題術(shù)的形式給出:勾股各自乘,并,而開方除之,即弦[8].3者對(duì)比,初中教材體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的勾股定理且形體現(xiàn)在邊長上;《幾何原本》中體現(xiàn)形的勾股定理且形體現(xiàn)在面積上;而《九章算術(shù)及劉徽注》體現(xiàn)數(shù)的勾股定理.各自的表述為其內(nèi)容服務(wù),它們之間存在一定差異.

    (5)定理證明

    初中教材利用我國古代趙爽的弦圖(如圖1、圖2、圖3),通過圖形旋轉(zhuǎn)證明定理猜想.這種證明方法是近年來學(xué)者們傾向于“古證復(fù)原”思想提出的.初中教材對(duì)定理證明如下[6]:

    趙爽注釋的《周髀算經(jīng)》對(duì)勾股定理的證明如下:案弦圖又可以勾、股相乘為朱實(shí)二,倍之為朱實(shí)四.以勾股之差自相乘為中黃實(shí).加差實(shí)一亦成弦實(shí)[8].

    兩種解釋代表兩種證明思想,趙爽弦圖及其證明方法未成最終定論.初中教材選擇歷史上的數(shù)學(xué)作為定理證明既應(yīng)符合歷史,又應(yīng)符合學(xué)生認(rèn)知習(xí)慣.圖形旋轉(zhuǎn)是否是趙爽的弦圖思想,是否符合學(xué)生對(duì)一般幾何問題證明的思維形式,仍需再斟酌.

篇(2)

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史；勾股定理；教育價(jià)值

數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的價(jià)值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數(shù)學(xué)教育類雜志可以發(fā)現(xiàn)，越來越多的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也在撰文闡述自己在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的一些體會(huì)和教學(xué)案例. 在課程改革不斷深入的當(dāng)下，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于踐行課改的理念，培養(yǎng)全面發(fā)展有理想、有道德的高素質(zhì)數(shù)學(xué)人才等方面確實(shí)有著積極的推進(jìn)作用. 本文將給出一個(gè)基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)史修養(yǎng)的同時(shí)，開發(fā)出更多基于數(shù)學(xué)史的優(yōu)秀教學(xué)案例.

提出問題

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其徒眾發(fā)現(xiàn)的，后人更渲染其事，說畢達(dá)哥拉斯諸人十分重視這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛向天神奉獻(xiàn)答謝，所以中世紀(jì)時(shí)這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時(shí)代、不同地區(qū)都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經(jīng)典之作《幾何原本》，其中一個(gè)定理就是畢達(dá)哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所對(duì)的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”

接下來的這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一個(gè)三角形中，一邊上的正方形等于這個(gè)三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”

這兩個(gè)定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關(guān)系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國數(shù)學(xué)家早在公元前1120年就對(duì)勾股定理有了明確認(rèn)識(shí). 勾股定理從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，但它的發(fā)現(xiàn)時(shí)間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

定理的證明

在新課程人教版教材（八年級(jí)下冊(cè)）中，先是引用畢達(dá)哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內(nèi)作四個(gè)相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據(jù)“出入相補(bǔ)原理”，根據(jù)“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現(xiàn)了我國古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，正因如此，這個(gè)圖案被選為2002年北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽.

[圖1]

引導(dǎo)學(xué)生探索其他解法

上述是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據(jù)面積相等實(shí)現(xiàn)定理的證明. 教師可以提示學(xué)生圍繞這一觀點(diǎn)，探索其他證明方法，學(xué)生提供的證法有可能和歷史上大數(shù)學(xué)家的證法一致.

歷史上的經(jīng)典證明方法展示

發(fā)現(xiàn)勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個(gè)文明古國都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過這個(gè)定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數(shù)學(xué)思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統(tǒng)證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達(dá)哥拉斯的證法；（7）旋轉(zhuǎn)證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.

基于上述分析，不難發(fā)現(xiàn)，歷史上的勾股定理證明方法很多，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有400多種，向?qū)W生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現(xiàn)在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優(yōu)劣，而是為了豐富教與學(xué)的內(nèi)容知識(shí)，這也是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學(xué)生在教與學(xué)上有所比較，以達(dá)到取長補(bǔ)短. 通過分析各種證法之不同，可以發(fā)現(xiàn)他們各自對(duì)于圖形的依賴程度也不相同. 當(dāng)我們?cè)噲D理解某個(gè)版本的證法時(shí)，就好比與這位數(shù)學(xué)家進(jìn)行對(duì)話，從而產(chǎn)生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認(rèn)識(shí)到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個(gè)面向. 在教學(xué)中，若以歷史文本為師，適時(shí)引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯(cuò)誤，相信對(duì)于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程能有更貼近的牟合，也能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更全面的觀照. 最后，基于數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的目標(biāo)之一，正是讓學(xué)生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學(xué)習(xí)的樂趣，因此，數(shù)學(xué)歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.

問題的推廣

下面我們換個(gè)角度看勾股定理，定理會(huì)變成什么樣呢？

推廣一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜邊長度的平方等于兩個(gè)直角邊長度的平方之和.

（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個(gè)正方形.

（3）直角三角形直角邊上兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.

推廣二：“出入相補(bǔ)”原理的應(yīng)用

所謂“出入相補(bǔ)”原理，是指一個(gè)幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關(guān)勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進(jìn)行的，只是圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已. “出入相補(bǔ)”原理是我國古代數(shù)學(xué)家發(fā)明的一個(gè)證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過比較兩個(gè)證明來說明某些問題.

趙爽和達(dá)?芬奇的證明方法（如圖2所示）：

[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]

問題：這兩種方法的聯(lián)系是什么？

解答：如圖3所示.

[圖3：兩種證明的聯(lián)系]

可以看出，趙爽和達(dá)?芬奇對(duì)勾股定理的證明都使用了“出入相補(bǔ)”原理. 這兩種來自不同時(shí)期、不同地域的方法背后有著更本質(zhì)的聯(lián)系，正因?yàn)檫@種本質(zhì)聯(lián)系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的一種聯(lián)系. 正如韋爾斯在《數(shù)學(xué)與聯(lián)想》一書中所說的：“這就是為什么數(shù)學(xué)強(qiáng)有力的一個(gè)理由. 數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)表面不同的問題實(shí)際上是相同的，因此他只要解決一個(gè)也就解決了另一個(gè). 認(rèn)識(shí)到一百萬個(gè)問題‘實(shí)質(zhì)上’都是相同的，因此，你只要解決一個(gè)就解決了一百萬個(gè). 事實(shí)上，這就是力量！”我們的數(shù)學(xué)讀本，應(yīng)該多多向?qū)W生介紹這方面的內(nèi)容，讓學(xué)生感受這種力量，去認(rèn)識(shí)事物之間的聯(lián)系.

推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形

若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.

[圖4]

推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形

若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個(gè)半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級(jí)下冊(cè)）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣：（習(xí)題18.1“拓展探索”問題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個(gè)半圓之間有什么關(guān)系？

[圖5][2][1]

若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個(gè)身，此時(shí)顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實(shí)這個(gè)結(jié)論早在公元前479年就已經(jīng)由古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級(jí)下冊(cè)）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣（習(xí)題18.1“拓展探索”問題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.

推廣五：勾股定理與費(fèi)馬大定理

勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術(shù)》（第2卷問題8）中有一個(gè)與勾股定理類似的問題：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù). 丟番圖在《算術(shù)》中以實(shí)例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨(dú)獨(dú)提到丟番圖的這一問題，是因?yàn)椋蠹s16個(gè)世紀(jì)以后，正是在這一問題的啟發(fā)下，費(fèi)馬在其旁白處寫下了一段邊注，從而誕生了一個(gè)讓整個(gè)數(shù)學(xué)界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費(fèi)馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術(shù)》時(shí)，做了如下批注：“不可能將一個(gè)立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)之和；或者將一個(gè)四次冪寫成兩個(gè)四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同樣次冪的和. 我已找到了一個(gè)奇妙的證明，但書邊太窄，寫不下. ”1670年，費(fèi)馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版，遂使費(fèi)馬這一猜想公之于世. 費(fèi)馬究竟有沒有找到證明已成為數(shù)學(xué)史上的千古之謎. 從那時(shí)起，為了“補(bǔ)出”這條定理的證明，數(shù)學(xué)家們花費(fèi)了三個(gè)多世紀(jì)的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.

推廣六：勾股數(shù)

不言而喻，所謂勾股數(shù)，是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數(shù)呢，方法如下.

1. 任取兩個(gè)正整數(shù)m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構(gòu)成一組勾股數(shù).

2. 若勾股數(shù)組中的某一個(gè)數(shù)已經(jīng)確定，可用如下方法確定另兩個(gè)數(shù)：首先觀察已知數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù).

（1）若已知數(shù)是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么奇數(shù)與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

（2）若已知數(shù)是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1和加1所得的兩個(gè)整數(shù)與這個(gè)偶數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

練習(xí)題：限于篇幅，僅列一題.

練習(xí)題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問索長幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）

現(xiàn)代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺，現(xiàn)在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時(shí)繩索與木的距離為8尺，問這條繩索的長為多少？

原書“術(shù)”曰：“以去本自乘，另如委數(shù)兒一，所得加委地?cái)?shù)而半之，即索長.”

篇(3)

關(guān)鍵詞:勾股定理故事自學(xué)引導(dǎo)鞏固

時(shí)鐘隨著指針的移動(dòng)嘀嗒在響:“秒”是雄赳赳氣昂昂列隊(duì)行進(jìn)的兵士,“分”是士官,“小時(shí)”是帶隊(duì)沖鋒陷陣的驍勇的軍官。所以當(dāng)你百無聊賴、胡思亂想的時(shí)候,請(qǐng)記住你掌上有千軍萬馬;你是他們的統(tǒng)帥。檢閱他們時(shí),你不妨問問自己——他們是否在戰(zhàn)斗中發(fā)揮了最大的作用?

——菲·蔡·約翰遜

數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué),在數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體作用,注重教學(xué)過程,改變被動(dòng)接受知識(shí)的局面,實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)素質(zhì)化,才能真正提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效率。下面說說我在教學(xué)中的做法,通過這個(gè)例子來具體地說明數(shù)學(xué)課上如何提高課堂效率。

課例:《勾股定理的證明》

教學(xué)目標(biāo):勾股定理是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。它是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì),是幾何中最重要的定理之一;它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系;它可以解決直角三角形中關(guān)于邊的計(jì)算問題,是解直角三角形的主要根據(jù)之一,在實(shí)際生活中用途很大。教材在編寫時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和分析問題的能力,通過實(shí)際分析、拼圖等活動(dòng),使學(xué)生獲得較為直觀的印象;通過聯(lián)系和比較,理解勾股定理,以便正確地進(jìn)行運(yùn)用。

例如,勾股定理證明教學(xué)過程中,教師可這樣實(shí)施:

一、故事引入,激發(fā)興趣

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理的興趣,可以由下列故事引入:三千多年前有個(gè)叫商高的人對(duì)周公說:把一根直尺折成直角,兩端連接得到一個(gè)直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦等于5。

這樣引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)生的求知欲。

教師緊接著問:是不是所有的直角三角形都有這個(gè)性質(zhì)呢?

教師要善于激疑,使學(xué)生進(jìn)入樂學(xué)狀態(tài)。這樣做將學(xué)生的注意力吸引到課堂上來,學(xué)生全神貫注地聽課,課堂效率得到提高。

二、自學(xué)教材,主動(dòng)探究

教師將教材知識(shí)整合,制作成幻燈片,以此指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)教材。通過自學(xué)感悟、理解新知,體現(xiàn)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí),鍛煉了學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)的能力,養(yǎng)成了學(xué)生良好的自學(xué)習(xí)慣。

1.通過自主學(xué)習(xí),教師設(shè)疑或?qū)W生提疑。如:怎樣證明勾股定理?通過自學(xué),中等以上的學(xué)生基本都能掌握,這時(shí)能激發(fā)學(xué)生的表現(xiàn)欲。

2.通過合作探究,引導(dǎo)學(xué)生擺脫網(wǎng)格的限制,研究任意直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。滲透由特殊到一般的思想方法。

3.教師引導(dǎo)學(xué)生按照要求進(jìn)行拼圖,觀察并分析;(學(xué)生每人準(zhǔn)備四個(gè)大小一樣的直角三角形)(1)這兩個(gè)圖形有什么特點(diǎn)?(2)你能寫出這兩個(gè)圖形桔黃色部分的面積嗎?(3)你得到什么結(jié)論?

這時(shí)教師組織學(xué)生分組討論,調(diào)動(dòng)全體學(xué)生的積極性,達(dá)到人人參與的效果,接著全班交流。先由某一組代表發(fā)言,說明本組對(duì)問題的理解程度,其他各組作評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。教師及時(shí)進(jìn)行富有啟發(fā)性的點(diǎn)撥,最后,師生共同歸納,形成一致意見,最終解決疑難。

三、鞏固練習(xí),強(qiáng)化提高

1.出示練習(xí),學(xué)生分組解答,并由學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律。課堂教學(xué)中動(dòng)靜結(jié)合,以免引起學(xué)生思維疲勞。

例1.某樓房三樓失火,消防員趕來救火,了解到每層樓高3米,消防員取來6.5米長的梯子,梯子的底部離墻基2.5米,請(qǐng)問消防員能否進(jìn)入三樓滅火?

2.出示例1:學(xué)生試解,師生共同評(píng)價(jià),以加深對(duì)例題的理解與運(yùn)用。針對(duì)例題再次進(jìn)行鞏固練習(xí),進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力,對(duì)練習(xí)中出現(xiàn)的情況可采取互評(píng)、互議的形式,在互評(píng)互議中出現(xiàn)的具有代表性的問題,教師可以采取全班討論的形式予以解決,以此突出教學(xué)重點(diǎn)。

四、歸納總結(jié),練習(xí)反饋

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行總結(jié),梳理學(xué)習(xí)思路。分發(fā)自我反饋練習(xí),學(xué)生獨(dú)立完成。

五、課后作業(yè)

1.課本第81頁1、2、3題。

2.通過報(bào)刊、資料或上網(wǎng)查閱中外名人對(duì)勾股定理的證明方法以及勾股定理的發(fā)展史。

教學(xué)反思:本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)明確,重點(diǎn)突出,注重對(duì)知識(shí)形成過程的教學(xué)。但是在準(zhǔn)備這節(jié)課時(shí)還是不夠充分,比如引例比較簡單,可以適當(dāng)增加。在本節(jié)課后,我又搜集了一些關(guān)于勾股定理的典故,充實(shí)本節(jié)課的內(nèi)容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人,也知道這一定理的特例,也就是勾3、股4、弦5,并用它來測(cè)定直角,之后才漸漸推廣。

2.金字塔的底部,四正四方,正對(duì)準(zhǔn)東西南北,可見方向測(cè)得很準(zhǔn),四角又是嚴(yán)格的直角。而要量得直角,當(dāng)然可以采用作垂直線的方法,但是如果將勾股定理反過來用,也就是說:只要三角形的三邊是3、4、5,或者符合的公式,那么弦邊對(duì)面的角一定是直角。

3.到了公元前540年,希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯注意到了直角三角形三邊是3、4、5,或者是5、12、13,他想:是不是所有直角三角形的三邊都符合這個(gè)規(guī)律?反過來,三邊符合這個(gè)規(guī)律的,是不是都是直角三角形?他搜集了許多例子,結(jié)果都對(duì)這兩個(gè)問題作了肯定的回答。他非常高興,殺了一百頭牛來祝賀。以后,西方人就將這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。

另外,合作探究和拼圖部分給學(xué)生留的時(shí)間太少,應(yīng)該給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行思考,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題。

篇(4)

證明三：重心定理――三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長的[SX（]2[]3[SX）]，要用到的物理知識(shí)：根據(jù)力矩平衡求合重心.

證法如圖2所示，假設(shè)在ABC的三個(gè)頂點(diǎn)處分別放置一個(gè)質(zhì)量為m的小球，B、C兩球的合重心在BC中點(diǎn)的D處，再與A球求合重心，在DA上距A的長度為AD的[SX（]2[]3[SX）]處，結(jié)論得證.

2 兩點(diǎn)商榷

（1）原文“證明一”所利用的物理知識(shí)“力矩平衡”來自于電磁學(xué)中的一個(gè)結(jié)論“閉合的載流線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中受的磁場(chǎng)力的力矩為零.”

其中M為線圈受的磁場(chǎng)力矩，S為線圈面積，I為線圈中的電流，B為磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，θ為線圈法線與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向的夾角.

（1）式是通過矢量積分得到的，其推導(dǎo)過程（略）中，對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度B進(jìn)行正交分解以及所涉及到的三角函數(shù)值的計(jì)算，都是以勾股定理為前提的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，而原文“證明一”利用（1）式在θ=0時(shí)M=0情形來證明勾股定理，說到底走的是“以勾股定理為前提”證明“勾股定理”的循環(huán)論證之路，這是推理論證的大忌，當(dāng)然也是平時(shí)教學(xué)和研究中應(yīng)當(dāng)注意避免的問題之一.

（2）原題“證明三”實(shí)際證明的結(jié)論是：三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到分別放置于三角形三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)相同質(zhì)量的小球的合重心的距離等于該頂點(diǎn)所對(duì)邊上中線長的.而三角形的重心是指三角形三條中線的交點(diǎn)，顯然，上述“三個(gè)小球的合重心”與“三角形的重心”是兩個(gè)概念，要證的是后者與頂點(diǎn)的位置關(guān)系，而原文“證明三”所證的是前者與頂點(diǎn)的位置關(guān)系，實(shí)屬答非所問.[HJ1.55mm]

三角形三條中線的交點(diǎn)為什么叫三角形的重心？因?yàn)樗且粋€(gè)具有數(shù)理雙重身份的點(diǎn).從數(shù)學(xué)上講，它是三條中線的交點(diǎn)，從物理上講，它是質(zhì)量均勻分布的薄板三角形各部分所受重力的合力的作用點(diǎn)，自然又可稱為“重心”.

下面從物理的角度應(yīng)當(dāng)（也只能從物理角度）證明如上所述的三角形的重心位于三角形三條中線的交點(diǎn)（在此基礎(chǔ)上應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)可以證明某一頂點(diǎn)到重心的距離等于對(duì)應(yīng)邊上中線長的.

證明如圖3所示，將ABC看成由大量緊挨著的平行于BC邊的小條（例如圖中的小條GH――因條寬極小，小條可看作一線段）組成的.由于三角形薄板質(zhì)量均勻分布，每一個(gè)小條（例如GH）的重心都位于該小條的中點(diǎn)（例如圖中的I），根據(jù)相似三角形的知識(shí)易知（推導(dǎo)過程略），這些點(diǎn)都位于中線AD上，因此，整個(gè)三角形的重心也必位于中線AD上.

同理可以證明，ABC的重心必位于中線BE和CF上，由于重心的唯一性，重心只能位于三條中線的交點(diǎn)上.所以，將三角形三條中線的交點(diǎn)稱為三角形的重心，當(dāng)之無愧.

3 一點(diǎn)冷思考

篇(5)

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；學(xué)習(xí)興趣；學(xué)生課堂

美國數(shù)學(xué)家魏爾德（R.L.Wilder）認(rèn)為：數(shù)學(xué)課堂上只強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的技術(shù)是不夠的，要使學(xué)生被數(shù)學(xué)所吸引，一定要運(yùn)用數(shù)學(xué)歷史知識(shí)。

在課堂教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾M(jìn)數(shù)學(xué)史，能提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

一、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

夸美紐斯說：“興趣是創(chuàng)造一個(gè)歡樂和文明的教育環(huán)境的主要途徑之一?！?/p>

教師在課堂上介紹數(shù)學(xué)家的趣聞?shì)W事、數(shù)學(xué)概念的起源、古今數(shù)學(xué)方法的簡單對(duì)比等等，都能起到激發(fā)興趣的作用。即使在課堂上簡略提及一個(gè)問題的研究者、研究的原因、最早的解法、最后的解法、最大的或最好的解法等等，都能激發(fā)學(xué)生的興趣，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于人物、原因和最佳結(jié)果等有著天生的好奇心。

如，在學(xué)習(xí)命題邏輯的時(shí)候，我們可以向?qū)W生介紹《唐?吉訶德》中的悖論。像這樣的小故事能立刻吸引學(xué)生的注意，在后面的學(xué)習(xí)過程中也會(huì)表現(xiàn)出很高的積極性。

這樣既拓寬了學(xué)生的思路，又有利于幫助學(xué)生記憶公式。

二、啟發(fā)學(xué)生的人格成長

古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德的故事：公元前212年，阿基米德的家鄉(xiāng)敘拉古被羅馬人攻陷。當(dāng)時(shí)，阿基米德仍在專心致志地研究一個(gè)幾何問題，絲毫不知死神的臨近。當(dāng)一個(gè)羅馬士兵走近他時(shí)，阿基米德讓他走開，不要踩壞了他的圖形，羅馬小卒殘忍地用刺刀殺害了他。

這曾是一個(gè)舉世震驚的奇跡：一位屈居于6平方米小屋的數(shù)學(xué)家，借一盞昏暗的煤油燈，伏在床板上，用一支筆耗去了幾麻袋的草稿紙，攻克了世界著名數(shù)學(xué)難題“哥德巴赫猜想”中的“1+2”，創(chuàng)造了摘取這顆數(shù)論皇冠上的明珠“1+1”只是一步之遙的輝煌。創(chuàng)造這個(gè)奇跡的正是我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤。

我們不會(huì)相信一個(gè)數(shù)學(xué)故事或一本數(shù)學(xué)家傳記一定會(huì)造就一名數(shù)學(xué)家，但數(shù)學(xué)家的奮斗經(jīng)歷對(duì)學(xué)生人格成長的正面啟發(fā)作用是不可否認(rèn)的。

三、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，樹立學(xué)生的自信心

美國學(xué)者Bidwell曾對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂作出了這樣的比喻：“在課堂里，我們常常這樣看待數(shù)學(xué)，好像我們是在一個(gè)孤島上學(xué)習(xí)似的。我們每天一次去島上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，埋頭鉆進(jìn)一個(gè)純粹的、潔凈的、邏輯上可靠的、只有清晰線條而沒有骯臟角落的書房。學(xué)生覺得數(shù)學(xué)是封閉的、呆板的、冰冷無情的、一切都已發(fā)現(xiàn)好了的?！彼J(rèn)為，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以將學(xué)生從數(shù)學(xué)的孤島上挽救出來，并將他們安置于一個(gè)生機(jī)勃勃的新大陸上，這個(gè)新大陸包含了開放的、生動(dòng)活潑的、充滿人情味的并且總是饒有趣味的數(shù)學(xué)。

為什么說數(shù)學(xué)史可以改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀？傳統(tǒng)的教學(xué)注重的不過是技術(shù)而已，學(xué)生心目中的數(shù)學(xué)是枯燥的、是少數(shù)人的專好，有些人有數(shù)學(xué)頭腦而另一些人則沒有數(shù)學(xué)頭腦。數(shù)學(xué)遠(yuǎn)離社會(huì)，遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不過是為了考試而已。數(shù)學(xué)史上的故事足以說明：數(shù)學(xué)其實(shí)是人類的一種文化活動(dòng)，人人可學(xué)，人人可做。

數(shù)學(xué)家花了幾千年的時(shí)間才理解了無理數(shù)，花了三百年才理解了復(fù)數(shù)，花了一千年才理解了負(fù)數(shù)。從伽利略到狄利克雷，數(shù)學(xué)家一直絞盡腦汁地去理解函數(shù)的概念；而牛頓和萊布尼茲盡管是聲名顯赫的先輩，但他們自己也沒有透徹理解微積分的許多概念，數(shù)學(xué)家們大約經(jīng)過二百年的努力，方把這些概念弄清楚。那么學(xué)生開始時(shí)不能很好地理解這些概念，也就不致感到迷惘；相反，將會(huì)更加信心百倍地繼續(xù)學(xué)下去。

法布爾可以精通代數(shù)學(xué)，林肯可以精通幾何學(xué)，拿破侖和加菲爾德可以做數(shù)學(xué)，這些歷史名人的數(shù)學(xué)軼事告訴我們：數(shù)學(xué)其實(shí)是人類的一種文化活動(dòng)，它不是少數(shù)人的專好，而是人人可學(xué)、人人可做，盡管并非人人都有數(shù)學(xué)家的才能。這就像籃球一樣，人人可打，卻并非人人都有運(yùn)動(dòng)員的天賦。另一方面，司湯達(dá)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷告訴我們：人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中難免會(huì)遇到這樣那樣的困難和挫折，沒有必要為此而灰心喪氣。面對(duì)學(xué)生，可試試用類似的名人軼事來改變一下學(xué)生錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)觀，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和自信心。

四、拓寬學(xué)生的視野

不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家往往會(huì)做出同樣的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)概念、定義、定理、公式當(dāng)然不會(huì)僅僅局限于課本中的某一種思想方法。擁有數(shù)學(xué)教材中有關(guān)概念、定理、思想方法產(chǎn)生和發(fā)展的歷史知識(shí)，無疑會(huì)大大拓寬我們的視野，進(jìn)而豐富和提升我們的課堂教學(xué)。

等比數(shù)列求和的例子：

約在公元前3000年，巴比倫人就已經(jīng)總結(jié)出等比數(shù)列1，2，22…，29的求和公式。意大利有釘子問題，古埃及有貯藏室問題，我國的《孫子算經(jīng)》里也有類似的題目。根據(jù)前人計(jì)算的一些方法總結(jié)，我們可以得到等比數(shù)列求和公式的一些證明方法：

歷史上許許多多精彩的思想方法被排斥于我們的教材之外。了解歷史之后，我們當(dāng)然不能說教材上的“錯(cuò)位相減法”是唯一適合于課堂教學(xué)的方法，但在歷史方法的對(duì)比中，學(xué)生開闊了視野，在不知不覺中還學(xué)會(huì)了欣賞數(shù)學(xué)。實(shí)際上，類似的例子比比皆是。如被開普勒譽(yù)為幾何學(xué)兩大法寶之一的勾股定理，古代中國、希臘、印度、阿拉伯以及近現(xiàn)代歐洲都有證明，畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得、趙爽、劉徽等人的證明都完全可以引入課堂教學(xué)。用數(shù)學(xué)問題的歷史上的解法與課堂上學(xué)生自己的解法進(jìn)行比較，會(huì)產(chǎn)生很好的效果。

五、了解多元文化的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)從來不是某一個(gè)國家、民族或個(gè)人的專利，每一種文化都有其自己的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)歷史讓學(xué)生了解到不同文化背景下的數(shù)學(xué)思想，從而理解數(shù)學(xué)的多元文化意義。

多元文化視野中的勾股定理證明方法：

古巴比倫時(shí)期（公元前1900―1600年），數(shù)學(xué)泥版文獻(xiàn)中的一些幾何或代數(shù)問題表明：勾股定理早在公元前兩千年就已在兩河流域文明中得到了廣泛應(yīng)用。在西方文獻(xiàn)中，勾股定理一直以古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的名字來命名，但迄今并沒有畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的直接證據(jù)。在希臘數(shù)學(xué)中，關(guān)于勾股定理的明確證明見于歐幾里得的《幾何原本》。

由于《幾何原本》的廣泛流傳，歐幾里得的證明是勾股定理所有證明中最為著名的，希臘人稱之為“已婚婦女的定理”；法國人稱之為“驢橋問題”；阿拉伯人稱之為“新娘圖”“新娘的坐椅”；在歐洲，又有人稱之為“孔雀的尾巴”或“大風(fēng)車”。

在中國古代，勾股定理的特例以及一般情形的敘述見于公元前2世紀(jì)成書的天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》。公元3世紀(jì)，趙爽和劉徽分別對(duì)勾股定理作出證明，他們運(yùn)用的都是出入相補(bǔ)原理。

勾股定理的證明層出不窮，至今已多達(dá)近四百種。歷史告訴我們：數(shù)學(xué)是全人類共同的遺產(chǎn)，不同文化背景下的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)創(chuàng)造都是根深葉茂的世界數(shù)學(xué)之樹不可分割的一枝。

當(dāng)我們把多元文化引入數(shù)學(xué)課堂時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)“誰比誰早多少年”已經(jīng)不是最重要的，最重要的是：這會(huì)讓我們的學(xué)生消除民族中心主義的偏見，以更寬闊的視野去認(rèn)識(shí)古代文明的數(shù)學(xué)成就，并學(xué)會(huì)欣賞豐富多彩的數(shù)學(xué)文化。

參考文獻(xiàn)：

[1]林克涌.讓數(shù)學(xué)文化走進(jìn)課堂[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（12）.

[2]朱哲.“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”教學(xué)設(shè)計(jì)及其分析[J].中學(xué)教研，2003（7）.

篇(6)

為使學(xué)生學(xué)好當(dāng)代社會(huì)中每一位公民適應(yīng)日常生活、參加社會(huì)生產(chǎn)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的代數(shù)、幾何的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、發(fā)展思維能力和空間觀念，使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，逐步形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)。

二、教材內(nèi)容分析

本學(xué)期數(shù)學(xué)內(nèi)容包括第一章《勾股定理》、第二章《實(shí)數(shù)》，第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》，第四章《四邊形性質(zhì)探索》，第五章《位置的確定》，第六章《一次函數(shù)》，第七章《二元一次方程組》，第八章《數(shù)據(jù)的代表》。

第一章《勾股定理》的主要內(nèi)容是勾股定理的探索和應(yīng)用。其中勾股定理的應(yīng)用是本章教學(xué)的重點(diǎn)。

第二章《實(shí)數(shù)》主要內(nèi)容是平方根、立方根的概念和求法，實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算。本章的內(nèi)容雖然不多，但在初中數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位。本章的教學(xué)重點(diǎn)是平方根和算術(shù)平方根的概念和求法，教學(xué)難點(diǎn)是算術(shù)平方根和實(shí)數(shù)兩個(gè)概念的理解。

第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》主要內(nèi)容是生活中一些簡單幾何圖形的平移和旋轉(zhuǎn)。簡單幾何圖形的平移是本章教學(xué)的重點(diǎn)，簡單圖案的設(shè)計(jì)是本章的難點(diǎn)。

第四章《四邊形性質(zhì)探索》的主要內(nèi)容是四邊形的有關(guān)概念、幾種特殊的四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形）的性質(zhì)和判定以及三角形、梯形的中位線，其中幾種特殊四邊形的性質(zhì)和判定是本章教學(xué)的重點(diǎn)，推理證明是本章的難點(diǎn)。

第六章《一次函數(shù)》的主要內(nèi)容是介紹函數(shù)的概念，以及一次函數(shù)的圖像和表達(dá)式，學(xué)會(huì)用一次函數(shù)解決一些實(shí)際問題。其中一次函數(shù)的圖像的表達(dá)式是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

第七章《二元一次方程組》要求學(xué)會(huì)解二元一次方程組，并用二元一次方程組來解一些實(shí)際的問題。

第八章《數(shù)據(jù)的代表》主要講述平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)的概念，會(huì)求平均數(shù)和能找出中位數(shù)及眾數(shù)。

三、學(xué)生情況分析：

初二（1）班共有學(xué)生44人，從上學(xué)期期未統(tǒng)計(jì)成績分析，及格人數(shù)分別為5人，優(yōu)秀人數(shù)分別為0人，與其他幾個(gè)平行班比較，優(yōu)秀生及格生都少，另外這兩個(gè)班的學(xué)生中成績特別差的比較多，成績提高的難度較大。在這樣一個(gè)以少數(shù)民族為主的學(xué)生群體中，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和空間思維能力普遍較差，大部分學(xué)生的解題能力十分弱，特別是幾何題目，很大一部分學(xué)生做起來都很吃力。從上學(xué)期期末統(tǒng)測(cè)成績來看，成績最好是78分，差的只有幾分，這些同學(xué)在同一個(gè)班里，好的同學(xué)要求老師講得精深一點(diǎn)，差的要求講淺顯一點(diǎn)，一個(gè)班沒有相對(duì)較集中的分?jǐn)?shù)段，從幾分到70多分每個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)都差不多，這就給教學(xué)帶來不利因素。

四、教學(xué)目標(biāo)

1、正確理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本運(yùn)算，并能熟練地進(jìn)行二次根式的化簡。

2、掌握二次根式加、減、乘、除的運(yùn)算法則，能夠進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。掌握二次根式

3、理解四邊形及有關(guān)概念，掌握幾種特殊四邊形的性質(zhì)定理及判定。

4、理解相似一次函數(shù)的概念，掌握一次函數(shù)的圖像和表達(dá)式，學(xué)會(huì)用一次函數(shù)解決一些實(shí)際問題。

五、教學(xué)措施及方法

1、成立學(xué)習(xí)小組，實(shí)行組內(nèi)幫輔和小組間競(jìng)爭(zhēng)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心及自學(xué)能力。

2、注重雙基和學(xué)法指導(dǎo)。

3、積極應(yīng)用嘗試教學(xué)法及其他新的教學(xué)方法和先進(jìn)的教學(xué)手段。

4、多聽聽課，向其它老師借簽學(xué)習(xí)一些優(yōu)秀的教學(xué)方法和教學(xué)技巧。

六、本學(xué)期教學(xué)進(jìn)度計(jì)劃

第一周：第一章《勾股定理》

第二周：第二章《實(shí)數(shù)》

第三周：第二章《實(shí)數(shù)》的復(fù)習(xí)和第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》

第四、五周：第四章《四邊形性質(zhì)探索》。

第六周：第五章《位置的確定》。

第七周：第六章《一次函數(shù)》，介紹函數(shù)的概念，以及一次函數(shù)的圖像和表達(dá)式，學(xué)會(huì)用一次函數(shù)解決一些實(shí)際問題。

第九周：第八章《數(shù)據(jù)的代表》和總復(fù)習(xí)。

第十周：綜合復(fù)習(xí)和訓(xùn)練。

篇(7)

一、現(xiàn)實(shí)生活問題人為構(gòu)造痕跡很重

數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系是十分緊密的，不管如何改革，數(shù)學(xué)教學(xué)中包含生活問題是不可避免的，也是很有必要的。而正是因?yàn)檫@樣，現(xiàn)實(shí)生活中的問題被老師們當(dāng)做家常便飯了，每一節(jié)數(shù)學(xué)課都要用，用當(dāng)然無可厚非，但問題是小學(xué)、初中的數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中有顯性體現(xiàn)的畢竟是少數(shù)，比如初等數(shù)論中的許多知識(shí)，平面幾何中的許多定理，等等。所以，時(shí)間久了，老師們也想不出還有什么新的生活問題情境了。這種情況下，人為構(gòu)造開始了。

例如，在“全等三角形的判定”中，有很多老師用過這樣的問題情境：有一塊三角形的玻璃被打破成如圖1所示的兩塊，如果要到玻璃店去照原樣配一塊，要不要把兩塊都帶去?

教師的設(shè)計(jì)意圖很明顯，通過這個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生們學(xué)習(xí)或者是應(yīng)用角邊角定理(ASA)。那么，很明顯，帶(B)塊碎玻璃去即可(如圖2)。這看起來似乎是很完美的問題，教師自我感覺肯定很好。

其實(shí)不然。如果我們到大街小巷去逛一圈就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題。哪里有三角形的玻璃?反過頭來一想，也是，三角形的玻璃三個(gè)角很容易讓人受傷，為了安全起見，當(dāng)然得少用。另外，有過打破玻璃經(jīng)歷的人都知道，生活中，如果誰家的窗戶玻璃壞了，有哪個(gè)會(huì)帶著其中的碎玻璃去玻璃店呢?那多麻煩!一般都是請(qǐng)木工師傅或者專門的維修人員處理。他們帶來卷尺測(cè)量一下，然后到玻璃店直接劃一塊，再幫你裝好所以，仔細(xì)一想就知道，上述問題情境很有可能是杜撰的。孩子們又怎么會(huì)相信呢?

實(shí)際上，全等三角形的判定，應(yīng)該是數(shù)學(xué)自身邏輯發(fā)展的產(chǎn)物，而不會(huì)是生活需要的結(jié)果。人們絕對(duì)不會(huì)由于生活中要判定兩個(gè)三角形是否全等而一一發(fā)現(xiàn)SSS、AAS、ASA等，而應(yīng)該是為了追求數(shù)學(xué)的簡潔，少用一點(diǎn)元素(按照全等三角形定義，要把6個(gè)對(duì)應(yīng)元素都做對(duì)比)就能解決數(shù)學(xué)問題。這一點(diǎn)從教材中也可以看出。人教版八上在用定義判定兩個(gè)三角形全等后，用這樣一句轉(zhuǎn)折的話引出判定定理：“如果ABC和A′B′C′滿足上述六個(gè)條件中的一部分，那么能否保證ABC和A′B′C′全等呢?”這正是數(shù)學(xué)簡潔性的體現(xiàn)。

所以，教學(xué)這類由數(shù)學(xué)自身的需要而發(fā)展起來的數(shù)學(xué)知識(shí)，在沒有很好的生活問題的情況下，教師完全可以從數(shù)學(xué)的自身發(fā)展需要角度向?qū)W生提出問題。學(xué)生也愿意解答。誰不想把事情變得簡潔明了一點(diǎn)呢?這就是數(shù)學(xué)的性質(zhì)與人的天性統(tǒng)一的地方。

二、數(shù)學(xué)史問題關(guān)注太少

正是由于老師們都去關(guān)注生活問題情境，以致豐富的數(shù)學(xué)歷史資源無人問津。實(shí)際上，教師適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史，可以讓學(xué)生正確、全面地了解知識(shí)的產(chǎn)生過程，了解一些國內(nèi)外著名數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)問題的艱辛歷程和所取得的輝煌成就，能對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)理性精神的熏陶，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

比如，教學(xué)勾股定理的時(shí)候，我們可向?qū)W生講解古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的故事，以及“萬物皆數(shù)”的信條。而正是勾股定理的發(fā)現(xiàn)，直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)。同時(shí)，勾股定理發(fā)展到今天，據(jù)說已經(jīng)有幾百種證明方法，這是一筆多么寶貴的財(cái)富!因此，教師還可向?qū)W生展示歷史上勾股定理的經(jīng)典證法，并告訴學(xué)生我國古代數(shù)學(xué)家(如楊輝)在勾股定理證明方面作出的巨大貢獻(xiàn)。學(xué)生的民族自豪感自然會(huì)得到加強(qiáng)。

此外，歷史上的數(shù)學(xué)名題層出不窮，而且它們的提出都非常真實(shí)自然。相比之下，課本上提供的問題或多或少顯得枯燥、刻板，有明顯的人為痕跡。課堂上利用數(shù)學(xué)名題進(jìn)行教學(xué)，會(huì)使學(xué)生感到自然、親切，有利于激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

比如《算法統(tǒng)宗》中的“三女歸寧”：張家有3個(gè)女兒，長女3日回家一次，次女5日回家一次，三女7日回家一次，她們同一天離家，問幾日后又同時(shí)到家相會(huì)?

“群羊逐草”：甲趕羊群逐草茂，乙攜肥羊一只隨其后，戲問甲及一百否?甲云所說無差謬。若得這般一群湊，再添半群小半群，得你一只來方湊，玄機(jī)奧妙誰參透?